VTMath: UNIFOR 2022-1

O Mundo Unifor é o maior evento de disseminação científica, cultural, artística e de humanidades da região Nordeste promovido pela Universidade de Fortaleza. De 18 a 23 de outubro, a Universidade de Fortaleza realizou a 10a edição do Mundo Unifor. O tradicional evento reuniu arte, ciência e inovação com programação gratuita aberta ao público. Suponha que os códigos de inscrição de uma parcela dos inscritos no evento sejam números inteiros de três algarismos que satisfazem simultaneamente as seguintes condições:

menor que 800;
maior que 199;
possuir todos os dígitos distintos;
ser par.

A quantidade de inscritos cujos códigos de inscrição satisfazem as condições acima é

Resolução

Primeiramente, para um número de 3 algarismos ser par, o seu último algarismo precisa ser entre 0, 2, 4, 6, e 8. Sabendo disso vamos utilizar o principio multiplicativo da contagem para cada um dos últimos algarismo. Vamos trabalhar primeiramente quando o ultimo algarismo for 0.

Como estamos desconsiderando os outros números deixando como o ultimo algarismo sendo apenas igual a 0, dizemos que a quantidade de possibilidades de números que o ultimo algarismo pode ser é a penas 1.

Para que um número de 3 algarismo seja menor do que 800, o primeiro algarismo não pode ser 9 e 8, e para que um número de 3 algarismo seja maior que 199, ele não pode ser 0 e 1. Então o primeiro algarismo precisar ser entre 2, 3, 4, 5, 6, 7. Logo dizemos que no primeiro algarismo existem 6 possibilidades de números, que satisfazem as condições.

Agora para o algarismo do meio podemos ter um pouco mais de liberdade na escolha do número, mas a questão pede que todos os algarismo sejam distintos, ou seja, não se pode repetir o mesmo algarismo, então não podemos repetir o primeiro e ultimo algarismo, logo deixando 8 possibilidades para o algarismo do meio.

Agora que sabemos a possibilidade de cada algarismo, vamos multiplicar os números de possibilidade de cada um deles para obter a quantidade de números possíveis, quando o ultimo algarismo for 0, nesse caso, $6\times8\times1 = 48$. Então existem 48 números, caso o ultimo algarismo for igual a 0. Esta mesma lógica pode ser aplicada quando o ultimo algarismo for igual a 8.

Logo a quantidade de números possíveis, caso o ultimo algarismo for igual a 8, também é igual a 48.
Essa lógica não pode ser aplicada caso os último algarismo for entre 2, 4, e 6, pois esses mesmos números estariam no primeiro algarismo, logo, caso o ultimo algarismo seja um desses números, o primeiro não poderá repeti-lo, então a possibilidade do primeiro algarismo sera de 5 números possíveis.

Então caso o ultimo algarismo seja 2, 4, ou 6, a quantidade de números possíveis sera de $5\times8\times1 = 40$.
Pronto, agora que sabemos a quantidade de números possíveis para cada um dos últimos algarismos, basta somar cada um deles, ou seja, $48 + 48 + 40 + 40 + 40 = 216$

Item correto: B

Questão 11 Questão 13

UNIFOR 2022-1 - Questão 12