Um artista plástico produz suas obras a partir de materiais recicláveis. Ele dispunha de quatro pedaços de madeira, todos com o formato de um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa medindo 10 cm de comprimento. Com o intuito de minimizar o desperdício de material, de cada triângulo ele extraiu o maior disco possível e construiu o painel mostrado abaixo.
A área total coberta pelos quatro discos é
- $100\pi(3-2\sqrt{2})cm^2$
- $100\pi(2-\sqrt{2})cm^2$
- $100\pi\sqrt{2}cm^2$
- $100\pi(2+\sqrt{2})cm^2$
- $100(3+2\sqrt{2})cm^2$
Resolução
Segundo a questão os disco foram formatos a partir de um triângulo retângulo isósceles com a hipotenusa medindo 10 cm e seus catetos iguais, assim podemos formar a figura abaixo.
Agora para descobrir o raio da circunferência primeiro precisamos calcular os valores dos catetos do triângulo, e para isso vamos utilizar a formula de Pitágoras.
$10^2 = x^2 + x^2$
$10 = x\sqrt{2}$
$10\sqrt{2} = 2x$
$x=5\sqrt{2}$
Agora para descobrir o raio da circunferência temos que ter e mente que existem duas maneiras para calcular a área de um triângulo, a maneira mais tradicional é por essa fórmula $\frac{b\times h}{2}$, a outra maneira é pela seguinte formula $p\times r$, sendo 'p' o semiperímetro e 'r' o raio, já que ambas as fórmulas são para calcular a área do triângulo vamos iguala-las para descobrir o raio da circunferência.
$\frac{b\times h}{2} = p\times r$
$\frac{5\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{2}+10}{2} \times r$
$50 = 10\sqrt{2}+10 \times r$
$50 = 10(\sqrt{2}+1) \times r$
$(\sqrt{2}+1)r = 5$
$r = \frac{5}{\sqrt{2}+1}$
Agora que sabemos o raio da circunferência podemos calcular a sua área usando a formula $\pi\times r^2$, como a resposta é a área das quatro circunferências somados vamos multiplicar a formula por 4.
$4\times\pi\times r^2$
$4\times\pi\times \frac{25}{3+2\sqrt{2}}$
$\frac{100\pi}{3+2\sqrt{2}}$
Percebemos que os itens da questão a resposta não está na forma que o calculo termina, para estar da mesma forma dos itens precisamos racionalizar o denominador, para isso basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
$\frac{100\pi}{3+2\sqrt{2}} \times \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$
$\frac{100(3-2\sqrt{2})}{9-8}$
$100(3-2\sqrt{2}) cm^2$
Item correto: A
