UNIFOR 2022.1 - Questão 05

Ana comprou um terreno formado pela união dos três quadrados $ABFE$, $BCGF$ e $CDHG$ e dos dois triângulos retângulos isósceles $ABI$ e $EFJ$, conforme na figura abaixo.


Se o comprimento do segmento $FD$ é $\sqrt{80}$ m, a área do terreno de Ana é:

[A] $48$ m$^2$.

[B] $5 \sqrt{80}$ m$^2$.

[C] $64$ m$^2$.

[D] $8 \sqrt{10}$ m$^2$.

[E] $80$ m$^2$.

Solução

A partir da construção geométrica abaixo:


podemos identificar as seguintes figuras geométricas:

• os quadrados $ABFE$, $BCGF$ e $CDHG$ de lado $x$.
• o triângulo retângulo $FHD$, tal que $FD = \sqrt{80}$.
• os triângulos retângulos isósceles $ABI$ e $EFJ$.

Desta maneira, inferimos a construção geométrica a seguir:


Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $FHD$, temos:

$FD^2 = DH^2 + HF^2 \Rightarrow (\sqrt{80})^2 = x^2 + (2x)^2 \Rightarrow 5x^2 = 80 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$
Da Geometria Plana, afirmamos que cada quadrado e cada triângulo retângulo têm área igual a $x^2$. Logo, a área do terreno de Ana será igual a soma das áreas dessas cinco figuras geométricas, ou seja \begin{eqnarray*} A_{Ana} & = & 3 \cdot A_{\square} + 2 \cdot A_{\triangle} \\ & = & 3 \cdot x^2 + 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} \\ & = & 3 \cdot 16 + 2 \cdot \dfrac{16}{2} \\ & = & 48 + 16 \\ & = & 64 \end{eqnarray*} Item correto: C Questão 04          Questão 06